Древнегреческий ученый евклид: биография, главный труд, вклад в науку

«Начала» Евклида

Главный труд Евклида – «Начала» (или «Элементы», в оригинале «Стойхейа»). «Начала» Евклида состоят из 13 книг. Позднее к ним были прибавлены еще две книги.

Первые шесть книг «Начал» посвящены геометрии на плоскости – планиметрии. В философско-теоретическом отношении, в плане философии математики особенно интересна первая книга, которая начинается с определений, постулатов и аксиом, учение о которых было заложено Аристотелем.

Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия – длина без ширины. Концы линии – точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.

Статуя Евклида в музее Оксфордского университета

Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы Евклида говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.

Далее, в первой же книге «Начал» Евклида, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга «Начал» содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга «Начал» исследует геометрию круга и окружности, четвертая – многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. В книге VI Евклид прилагает эти теории к планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.

В строгом смысле слова Евклида нельзя считать «отцом геометрии». Свои «Начала» были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. «Начала» были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский… Однако Евклид – не простой передатчик сделанного до него математиками. В «Началах» Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида – вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно «Начала» Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с афинским Парфеноном .

Правда, существовала легенда, что сам Евклид – не единственный автор дошедших до нас «Начал», что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой «Начал». Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. «Начала» Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца XII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского – на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой «Оптикой». Однако затем последовала масса переводов и комментариев на «Начала». Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеции. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем латинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Фалес

Предполагают, что геометрию начинала Ионийская школа, а точнее, сам её основатель Фалес Милетский, проживший что-то около сотни лет (640540 или 546 годы до нашей эры).

Толком мы мало что знаем о нём.

Точно известно, что имел он титул одного из семи мудрецов Греции, что по официальному счёту идёт как первый философ, первый математик, первый астроном и вообще первый по всем наукам в Греции. По-видимому, он был тем же для Греции, что Ломоносов для России. В молодости Фалес попал в Египет, куда фараон Псамметих только-только начал допускать иностранцев. Вероятно, он оказался там по торговым делам известно, что свою карьеру Фалес начинал купцом.

В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Потом он вернулся домой и основал философскую школу, выступая, очевидно, не столько как самостоятельный мыслитель, сколько как популяризатор египетской мудрости.

Считается, что геометрию и астрономию привёз именно он.

Что именно сделал он в геометрии, мы можем только гадать, хотя греческие авторы приписывали ему довольно много.

Например, Прокл Диддох утверждает, что Фалес доказал теоремы о равенстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о том, что диаметр делит круг пополам и ещё ряд других.

Допустив даже, что все историки писали сущую истину, мы не можем сказать, самостоятельно ли Фалес пришёл к этим теоремам или просто пересказал идеи египтян.

По-видимому, единственный бесспорный факт из его научной деятельности предсказание солнечного затмения 585 года до нашей эры. Но легенд о Фалесе ходило множество, и это само по себе доказывает, что учёный он был крупный.

Во всяком случае, одному у него могут поучиться все философы: краткости. Полное собрание его сочинений (разумеется, до нас не дошедшее) по преданию составляло всего 200 стихов.

Элементы

Элементы — это в основном систематизация ранее полученных знаний по геометрии. Улучшение по сравнению с более ранними методами лечения было быстро признано, в результате чего было малоса к сохранению более ранних методов.

В Элементах 13 книг:

В книгах I — IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказано результатов о плоских фигурах, например: «Влюбом треугольнике два угла меньше взятые вместе любым способом, двух прямых». (Книга 1, предложение 17) и теорема Пифагора «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, ведущей образ прямой угол, равенство квадратам на сторонах, двойной прямой угол». (Книга I, предложение 47)

Книги V и VII — X имеют дело с теорией чисел, где числа рассматривают геометрически как отрезки линии или области. Введены такие понятия, как простые числа и рациональные ииррациональные числа. Доказано, что простых чисел бесконечно много.

Книги XI — XIII касаются твердой геометрии. Типичный результат — это соотношение 1: 3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. Платоновы тела построены.

Аксиомы

Евклидова геометрия — это аксиоматическая система, в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидными в физическом мире, так что все теоремы были одинаково верными. Однако рассуждения Евклида от предположений заключению в силе независимо от их физической реальности.

Ближе к началукниги Элементов Евклид дает пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, заявлено в терминах конструкций (как переведено Томасом Хитом):

Позвольте постулировать следующее:

Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
Для построения (удлинения) конечной прямой непрерывно по.
Для описания окружности с любым центром и расстоянием (радиусом).
Все прямые углы равны друг другу.
: То есть, если прямая линия падает на два Прямые линии делают внутренние углы на той и той же стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они построены бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов.

Хотя Евклид только явно утверждает существование из минусов спроектированные объекты, в его рассуждениях неявно, что они уникальны.

Элементы включают в себя следующие пять «общих понятий»:

Вещи, которые равны одному иже, также равны друг другу (Переходное свойство Евклидово отношение ).
равные вычитания из равных, равные равны (свойство равенства вычитания).
Вещи совпадают друг с другом, равны друг другу (рефлексивное свойство).
Целое больше, чем часть

Современные науки соглашаются, что постулаты Евклида не обеспечивают полной логической основы, который Евклидовал для своего выступления.>Использовать более обширные и полные наборы аксиом.

Параллельный постулат

Для древних параллельный Найдите такое Доказательство, которое невозможно построить непротиворечивые системы геометрии, как можно построить непротиворечивые системы геометрии, в качестве альтернативы другим аксиомам.. Сам вклид, по-видимому, считал его качественно отличным от других, о чем доказывает эта организация компонентов: его первые 28 утверждений — это те, можно доказать без.

Можно указать альтернативных аксиом, которые логически эквивалентны параллельному постулату (в контексте других аксиом). Например, аксиома Playfair утверждает:

В плоскости через точку не на заданной прямой может быть проведена не более одной линии, которая никогда не пересекает линию линии.

Предложение «не больше» — это все, что необходимо, поскольку с помощью остальных аксиом можно доказать, что существует хотя бы одна параллельная линия.

Достижения Евклида

Достижения Евклида имели огромное значение для мировой истории, математики и других наук.

Он был первым, кто:

систематизировал известные труды предшественников в единый сборник из 13 книг,
создал 5 постулатов НОД и 5 аксиом в области геометрии,
охарактеризовал все известные геометрические фигуры, дал понятие кривым линиям, коническим сечениям и другим явлениям,
создал трактат по ошибкам при изучении и создании геометрических доказательств,
доказал практическое использовании математики при изучении звезд, небесных тел, космоса и других наук,
изучил свет с законами его распространения,
изучил зеркала и способности преломления в них световых лучей,
создал простейшую теорию в области музыки,
создал постулаты и формулы по механики и определил удельный вес тел.

Математика

Евклид отец математики. Он сформулировал теоремы по планиметрии, упростил понимание теоремы Пифагора и теоремы о сумме углов треугольника, прописал свойства правильных многоугольников и законы построения правильных пятнадцатиугольников, указал, как применима алгебры в жизни и каковы ее основные теории, вписал теорию о целом и рациональном числе, рассмотрел квадратичную иррациональность, заложил основы стереометрической науки, доказал теоремы, касающиеся площади круга с объемом шара, вывел отношение объема пирамид с конусами, призмами и цилиндрами.

Другие науки

Помимо математики, ученый работал с оптикой, астрономией, логикой и музыкой. Так, в оптике он дал сведения об оптической перспективе, зеркальных искажениях и отражениях световых лучей в зеркале.

Вычислительный Евклид

Элементы Евклида разделены на 13 «книг», содержащих в общей сложности 465 теорем и 131 определение.

Как известно, элементы математика Евклида представляли на протяжении веков саму модель научного и дедуктивного рассуждения, а их распространение и влияние в Европе были только в соответствии с Библией и несколькими другими писаниями церкви. Они переводились, редактировались и комментировались сотни раз, и эти издания и комментарии формировали научный инструментарий, методологические стандарты и математический язык многих веков.

Теоремы Евклида использовались для построения дальнейших и более смелых математических теорий или применялись в физических науках, в то время как структура доказательств изучалась математиками, логиками и эпистемологи как идеал самого разума. В этой связи особую историческую роль сыграли принципы, служившие основанием и фундаментом всего строительства.

Математик Евклид начал формулировать свои элементы с нескольких недоказанных предположений для того, чтобы установить великую математическую систему. Однако в античности система принципов Евклида неоднократно обсуждалась и оспаривалась: были найдены некоторые пробелы в доказательствах и недостающие аргументы, снабженные дополнительными аксиомами. Некоторые принципы были доказаны с помощью более простых способов или изменены, чтобы удовлетворить философские сомнения или удовлетворить архитектурные соображения. Еще несколько были добавлены, чтобы расширить геометрические результаты за пределы границ, установленных Евклидом. Эти изменения в системе принципов, лежащих в основе элементарной математики, были одними из наиболее важных результатов фундаментальных исследований, проведенных в позднем Средневековье XIV—XV вв.

Архимедов винт

Этот водяной винт похож на штопор, размещенный в трубе. С его помощью можно поднимать воду из реки, озера или колодца. Традиционно его изобретение приписывают Архимеду. Стефани Далли из Оксфордского университета обнаружила ассирийские клинописные письмена, датированные около 680 до н. э. и содержащие описания того, что очень напоминает водяной винт и использовалось для орошения садов в городе Ниневии в Месопотамии. Она считает, что эти сады на самом деле были знаменитыми Висячими садами, когда-то связанными с Вавилоном. В месопотамской культуре изобретатели оставались анонимными или их изобретения приписывались королю, который заплатил за работу.

Возможно, имя Архимеда связано с водяным винтом по одной из этих причин:

Устройство было забыто, после того как Ниневия была завоевана вавилонянами, а Архимед изобрел его с нуля.
Устройство могло достичь Египта, который находился под властью Ассирии в 680 году до нашей эры. Архимед, возможно, видел его в действии четыре столетия спустя, когда Египет был под властью греков. Вполне возможно, что он значительно улучшил конструкцию, сделав ее более удобной и дешевой в использовании.

Философия

Евклид развивал философскую концепцию Платона о 4 элементах, которым сопоставляются 4 правильных многогранника:

огонь – тетраэдр;
воздух – октаэдр;
земля – куб;
вода – икосаэдр.

В таком контексте «Начала» могут пониматься, как оригинальное учение о построении «платоновых тел», т. е. 5 правильных многогранников.

Доказательство возможности построения подобных тел завершается утверждением того, что никаких иных правильных тел, кроме представленных 5, просто нет.

Стоит заметить, что для теорем и постулатов Евклида характерна причинно-следственная связь, помогающая увидеть логическую цепочку умозаключений автора.

Биография

Современной науке неизвестна точная дата, когда родился Пифагор. По мнению историков, наиболее вероятным можно считать 580 год до нашей эры. Местом рождения стала Греция, остров Самос. Известны имена его родителей: отца звали Мнесархом, и он занимался обработкой золота, а мать – Партенией, или Пифиадой. Есть мнение, что у философа было еще два младших брата, которых звали Тиррен и Эвност, чья биография не была задокументирована.

Существует легенда, которая гласит, что родители будущего мыслителя во время свадебного путешествия отправились в Дельфах, где им повстречался местный оракул. Тот сообщил им, что вскоре у пары родится сын, которому предречено стать мудрецом. Пророчество быстро сбылось, и сына нарекли Пифагором в честь Пифии – жрицы бога Аполлона. Чтобы способствовать осуществлению пророчества, отец мальчика окружил его заботой и помог получить лучшее образование, а также создал алтарь богу Солнца.

С раннего детства, Пифагор заинтересовался наукой и проявлял уникальные способности. Обучал его музыке, живописи, риторике, чтению и письму – Гермодамант. Когда мальчику исполнилось 18 лет, его следующим наставником был Ферекид Сиросский, от которого будущий философ получил знания по медицине, физике, космологии и другим наукам.

Прожив несколько лет на Лесбосе, Пифагор отбыл в город Милет, чтобы брать уроки у Фалеса, который был основателем первой греческой школы, где преподавали философию. Затем, Пифагор продолжил образование в Египте, приобщаясь к тайнам жрецов и сам становясь одним из них.

Начало Персидской войны остановила путь развития и образования философа, потому что он был пленен и провел время плена в Вавилоне. Там он познакомился с персидскими магами, приобщившими его к мистическим ритуалам, астрономии и арифметике. В этот же период он изучает взгляд восточных народов на медицину и врачевание. Персы считали, что перечисленные науки имеют магическое происхождение, и это мнение перенял и Пифагор, основав на нем философские и математические теории.

Узнав про ученого пленника, спустя 12 лет после начала войны, персидский хан освободил Пифагора. Тогда мудрец вернулся в родной город, чтобы учить современников наукам. Он давал уроки на открытом воздухе, и присутствовать на них мог каждый желающий. Но ученики получали испытательный срок, который продолжался до пяти лет. Во время этого срока им запрещалось задавать вопросы во время занятий. Многие видные политики, историки, астрономы и ученые того времени были воспитанниками Пифагора. Современные математики до сих пор пользуются открытиями философа: теоремой Пифагора и таблицей умножения, которая изначально именовалась таблицей Пифагора.

В это же время, на шестом десятке лет, он встречает будущую супругу – Феану. Позже она родила ему сына и дочь. По некоторым источникам, жена Пифагора была дочерью его друга, мыслителя Бронтина.

Во время демократического восстания в Кротоне, где находилась школа Пифагора, философ уехал в город Метапонт. Как он погиб, неизвестно. По одной из версий, его убил тот, кому он отказал в проведении оккультического обряда. По другой версии, его убили во время стычек с мятежниками. Считается, что смерть настигла его в возрасте около 90 лет.

Связь «Начал» Евклида с трудами других ученых

Прокл Диадох, философ-неоплатоник (годы жизни — 412-485), автор комментариев к «Началам», высказал мысль о том, что в этом сочинении отражены космология Платона и «Пифагорейская доктрина…». В своем труде Евклид изложил теорию золотого сечения (книги 2-я, 6-я и 13-я) и (книга 13-я). Являясь приверженцем платонизма, ученый понимал, что его «Начала» вносят вклад в космологию Платона и в представления, развитые его предшественниками, о числовой гармонии, которой характеризуется мироздание.

Не один Прокл Диадох ценил платоновы тела и (годы жизни — 1571-1630) также интересовался ими. Этот немецкий астроном отметил, что в геометрии есть 2 сокровища — это золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении) и теорема Пифагора. Ценность последнего из них он сравнил с золотом, а первого — с драгоценным камнем. Иоганн Кеплер использовал платоновы тела в создании своей космологической гипотезы.

Находка в стиле Индианы Джонса

Тайна математических изысканий Архимеда в биографии не была раскрыта до 1906 года, когда профессор Йохан Хейберг обнаружил в городе Константинополе (теперь Стамбул), в Турции, книгу. Это был христианский молитвенник, написанный в тринадцатом веке, когда город был последним форпостом Римской империи. В стенах Константинополя хранились многие великие произведения, написанные в Древней Греции. Найденная Хейбергом книга теперь называется Палимпсест Архимеда.

Хейберг обнаружил, что молитвы были написаны поверх математических расчетов. Монах, который написал молитвы, попытался удалить оригинальную работу, от которой после этого остались только еле заметные следы. Оказалось, что на самом деле это были копии работ Архимеда, сделанные с оригинального текста в 10-м веке.

Дополнительная литература

DeLacy, Estelle Allen ( 1963). Евклид и геометрия. Нью-Йорк: Франклин Уоттс.
Кнорр, Уилбур Ричард (1975). Эволюция евклидовых элементов: исследование теории несоизмеримых величин и ее значение для раннегреческой геометрии. Дордрехт, Голландия: Д. Рейдел. ISBN 978-90-277-0509-9.
Мюллер, Ян (1981). Философия математики и дедуктивная структура в элементах Евклида. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-13163-6.
Рид, Констанс (1963). Долгий путь от Евклида. Нью-Йорк: Crowell.
Сабо, Арпад (1978). Начало греческой математики. A.M. Унгар, пер. Дордрехт, Голландия: Д. Рейдел. ISBN 978-90-277-0819-9.

ссылки

Бисон М. Брауэр и Евклид. Indagationes Mathematicae. 2017; 51: 1-51.
Корнелиус М. Евклид должен идти ? Математика в школе. 1973; 2(2): 16-17.
Флетчер В. К. Евклид. Математическая газета 1938: 22(248): 58-65.
Флориан С. Евклид Александрийский и бюст Евклида Мегарского. Наука, Новая серия. 1921; 53(1374): 414-415.
Эрнандес Й. Более двадцати веков геометрии. Журнал Книги. 1997; 10(10): 28-29.
Медер А. Е. Что не так с Евклидом?? Учитель математики. 1958; 24(1): 77-83.
Тейсен Б. Ю. Евклид, Относительность и парусный спорт. История Mathematica. 1984; 11: 81-85.
Валле Б. Полный анализ бинарного евклидова алгоритма. Международный симпозиум по алгоритмической теории чисел. 1998; 77-99.

Биография Пифагора

В этом рассказе много от легенды. Пифагор не оставил после себя никаких записей. Он любил читать и рассуждать, а его рассуждения записывали ученики.

Они же и создали его необыкновенную биографию, в которой отделить правду от вымысла уже невозможно.

Пифагор родился на острове Самос, расположенном в Эгейском море, отсюда его прозвище Самосский. Его отец был зажиточным человеком, занимался торговлей, мать происходила из знатного рода Анкея.

Во времена Пифагора остров был центром ионийской культуры и стал родиной ряда великих деятелей Античности, в том числе философа Мелисса, известного своим учением, что бытие бесконечно во времени; Эпикура, развивавшего идею наслаждений; и астрономов Аристарха и Аристилла.

Великий историк древности Геродот называл Самос одним из райских уголков, климат которого способствовал творчеству его жителей.

Его родители были жителями греческого острова Самоса, поэтому Пифагора называют также Самосским.

Отец Мнесарх работал камнерезом, по другим сведениям, занимался торговлей, считался богатым купцом, много путешествовал.

Предсказательница сообщила Мнесарху, что у него родится сын, который принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой.

Отец был так рад этому предсказанию, что назвал новорожденного сына Пифагором, что значит тот, о ком объявила Пифия, а свою жену Партениду, представительницу знатного рода, переименовал в Пифаиду.

Странствия Пифагора

Из дома Пифагор ушел в 18 лет, почувствовав себя совсем взрослым. Физически он был крепким, готовым ко многим испытаниям.

Всю свою жизнь он путешествовал по разным странам, посетил Египет, Фракию, Рим, где слушал разных ученых людей, приобщался к чужой мудрости.

Несколько лет Пифагор провел в плену у персидского царя, который приблизил его к себе и любил с ним вести беседы на научные темы.

Пифагор между тем продолжал учиться у персидских магов совершать различные чудеса.

По словам античных авторов, он встречался чуть ли не со всеми известнейшими мудрецами той эпохи — греками, персами, халдеями, египтянами, поэтому впитал в себя самые передовые знания того времени, был посвящен во все мистерии — тайные доктрины — греков и варваров.

На 40-м году жизни Пифагор поселился наконец в южноиталийской колонии, городе Кротоне, где и основал общество своих последователей.

Его школу называли по-разному: философско-научной и в то же время религиозно-магической, в которой обучались посвященные, или эзотерики, в отличие от остальных, непосвященных, которых называли экзотерики.

Именно в его школе зародилась числовая теория и учение о бессмертии и переселении человеческих душ.

Пифагор. Фрагмент картины Афинская школа. Художник Рафаэль

Смерть

Предположительно, Евклид скончался в 260-тых годах до нашей эры. Точные причины смерти не известны. Наследие ученого пережило его на две тысячи лет и вдохновляло многих великих людей спустя столетия после его кончины.

Существует мнение, что политический деятель Авраам Линкольн любил цитировать высказывания Евклида в своих речах и имел при себе несколько томов «Начал».

Статуя Евклида

Ученые последующих лет базировали труды на работах Евклида. Так, русский математик Николай Лобачевский использовал материалы древнегреческого мыслителя для разработки гиперболической геометрии, или геометрии Лобачевского. Формат математики, который создал Евклид, ныне известен как «евклидова геометрия». Ученый также создал прибор для определения высоты тона струны и изучал интервальные соотношения, поспособствовав созданию клавишных музыкальных инструментов.

Архимедов винт

Возможно, имя Архимеда связано с водяным винтом по одной из этих причин:

Устройство было забыто, после того как Ниневия была завоевана вавилонянами, а Архимед изобрел его с нуля.
Устройство могло достичь Египта, который находился под властью Ассирии в 680 году до нашей эры. Архимед, возможно, видел его в действии четыре столетия спустя, когда Египет был под властью греков. Вполне возможно, что он значительно улучшил конструкцию, сделав ее более удобной и дешевой в использовании.

Постулаты Евклида

Его главная книга «Элементы» (первоначально написанная на древнегреческом языке) стала базовой работой важных математических учений. Она разделена на 13 отдельных книг.

Книги от первой до шестой посвящены геометрии плоскости.
Книги семь-девять имеют дело с теорией чисел
Книга восьмая о геометрической прогрессии
Книга десятая посвящена иррациональным числам
Книги одиннадцать-тринадцать представляют собой трехмерную геометрию (стереометрию).

Гений Евклида состоял в том, чтобы взять в оборот множество разнообразных элементов математических идей и объединить их в один логический, последовательный формат.

Лемма Евклида, которая утверждает, что фундаментальное свойство простых чисел состоит в том, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить по крайней мере одно из этих чисел.

Находка в стиле Индианы Джонса

Неожиданное открытие

Эта книга содержала семь трактатов, автором которых был Архимед, включая «Метод», который считался утраченным на протяжении многих веков. Согласно биографии математика, Архимед написал эту работу, чтобы показать, как именно он занимался математикой. Этот труд был отправлен Эратосфену в Александрийскую библиотеку. Он предполагал, что впоследствии другие ученые, используя его «Метод», смогут сделать новые открытия.

Благодаря этому труду математики двадцатого века узнали, насколько далеко опередил свое время Архимед, и изучили методы, которые он использовал для решения разных проблем. Именно благодаря им были сделаны его открытия и изобретения. Сохранилось 9 трактатов Архимеда, написанных на греческом языке.

Другие произведения Евклида

Из других сочинений Евклида сохранились:

Данные
(δεδομένα

) — о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
О делении
(περὶ διαιρέσεων
) — сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
Явления
(φαινόμενα

) — приложения сферической геометрии к астрономии;
Оптика
(ὀπτικά

) — о прямолинейном распространении света.

По кратким описаниям известны:

Поризмы
(πορίσματα

) — об условиях, определяющих кривые;
Конические сечения
(κωνικά

);
Поверхностные места
(τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ
) — о свойствах конических сечений;
Псевдария
(ψευδαρία

) — об ошибках в геометрических доказательствах;

Евклиду приписываются также:

Биография

Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».

Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла — Евклид жил во времена Птолемея I Сотера — в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона. Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

По своим философским воззрениям Евклид вероятней всего был платоником.